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교육청 해설: [출제의도] 도함수를 이용하여 추론하기

조건 (가)에 의하여 함수 g(x)는 x=p에서연속이다.

\displaystyle\lim_{x\to p-}g(x)=\lim_{x\to p-}f(x)=f(p)이고g(p)=kf(0)=0이므로 f(p)=0

f(x)=x(x-p)(x-a)(a는 상수)라 하면g(x)=\begin{cases}x(x-p)(x-a) \& (x<p)\\k(x-p)(x-2p)\{x-(a+p)\} \& (x\ge p)\end{cases}

p>0이므로 0, p, 2p는 방정식 g(x)=0의 실근이다.

a=p 또는 a=0이면 방정식 g(x)=0의 서로 다른실근이 0, p, 2p뿐이므로방정식 g(x)=0의 서로 다른 모든 실근의 합이3p가 되어 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(i) a>p일 때

방정식 g(x)=0의 서로 다른 모든 실근은0, p, 2p, a+p

0+p+2p+(a+p)\ne2p이므로조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ii) 0<a<p일 때

방정식 g(x)=0의 서로 다른 모든 실근은0, a, p, a+p, 2p

0+a+p+(a+p)+2p\ne2p이므로조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(iii) a<0일 때

방정식 g(x)=0의 서로 다른 모든 실근의 합은a+0+p+2p=a+3p

조건 (나)에 의하여 a+3p=2p에서 a=-p

(i), (ii), (iii)에 의하여 a=-p이며 f(x)=x(x+p)(x-p)

조건 (가)에 의하여 함수 g(x)가 x=p에서미분가능하므로

$_h-=_h-=2p^2$,

$_h+=_h+=-kp^2$에서2p^2=-kp^2, k=-2

그러므로g(x)=\begin{cases}f(x) \& (x<p)\\-2f(x-p) \& (x\ge p)\end{cases}

f'(x)=3x^2-p^2=0에서x=-\dfrac{\sqrt3}{3}p 또는 x=\dfrac{\sqrt3}{3}p

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면\begin{array}{c|ccccc}x \& \cdots \& -\dfrac{\sqrt3}{3}p \& \cdots \& \dfrac{\sqrt3}{3}p \& \cdots \\ \hlinef'(x) \& + \& 0 \& - \& 0 \& + \\f(x) \& \nearrow \& \dfrac{2\sqrt3}{9}p^3 \& \searrow \& -\dfrac{2\sqrt3}{9}p^3 \& \nearrow\end{array}

함수 f(x)의 극댓값을 M이라 하면함수 f(x)의 극솟값은 -M이다.

k=-2이므로 함수 g(x)의 극값 중 가장 큰 값은2M이며 함수 y=g(x)의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 g(x)의 극값 중 가장 큰 값이 \dfrac{3\sqrt3}{2}이므로2M=\dfrac{3\sqrt3}{2}

2\times\dfrac{2\sqrt3}{9}p^3=\dfrac{3\sqrt3}{2}에서 p=\dfrac{3}{2}

그러므로 f(x)=x^3-\dfrac{9}{4}x

따라서 f(4)=4^3-\dfrac{9}{4}\times4=55