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교육청 해설: [출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이용하여 추론하기

두 점 A, B 중에서 x좌표가 작은 점을 A라 하고,점 A의 좌표를 \mathrm{A}(a,2^{a+1}+k)(a는 실수)라 하자.

직선 AB의 기울기가 1이고 \overline{AB}=2\sqrt2이므로\mathrm{B}(a+2,2^{a+1}+k+2)

점 B가 곡선 y=2^{x+1}+k 위의 점이므로2^{a+1}+k+2=2^{(a+2)+1}+k

(2^3-2)\times2^a=2에서2^a=\dfrac{1}{3}, a=-\log_2 3 \cdots ㉠

이제 선분 AB의 중점을 M이라 하자.

점 M의 좌표가 \mathrm{M}(a+1,2^{a+1}+k+1)이므로점 M은 곡선 y=2^x+k+1 위의 점이다.

점 M을 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동시킨점 \mathrm{M}'(a+1,2^{a+1}+k)는 곡선 y=2^x+k 위에 있고점 C는 곡선 y=\log_2(x-k)+1 위에 있으므로점 C를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동시킨점 \mathrm{C}'은 곡선 y=\log_2(x-k) 위에 있다.

직선 CM의 기울기가 -1이므로직선 \mathrm{C}'\mathrm{M}'의 기울기도 -1이고,두 곡선 y=2^x+k, y=\log_2(x-k)가 직선 y=x에대하여 대칭이므로 점 \mathrm{C}'은 점 \mathrm{M}'을 직선 y=x에대하여 대칭이동시킨 점이다.

점 \mathrm{C}'의 좌표는 \mathrm{C}'(2^{a+1}+k,a+1)이므로점 C의 좌표는 \mathrm{C}(2^{a+1}+k,a+2)이다.

삼각형 ABC가 한 변의 길이가 2\sqrt2인정삼각형이므로 \overline{CM}=\sqrt6이고,직선 CM의 기울기가 -1이므로점 C의 x좌표와 점 M의 x좌표의 차는 \sqrt3이다.

|(2^{a+1}+k)-(a+1)|=\sqrt3

k=-2^{a+1}+a+1+\sqrt3 또는 k=-2^{a+1}+a+1-\sqrt3

그러므로 S=-2\times2^{a+1}+2a+2

㉠에 의하여S=-2\times\dfrac{2}{3}+2\times(-\log_2 3)+2=\dfrac{2}{3}-2\log_2 3

따라서 2^{-S+\frac{2}{3}}=2^{2\log_2 3}=2^{\log_2 9}=9

【참고】

k=-2^{a+1}+a+1+\sqrt3일 때의 네 점 M, \mathrm{M}', C, \mathrm{C}'의 관계를 나타내면 그림과 같다.