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교육청 해설: [출제의도] 등차수열을 활용하여 문제해결하기

조건 (나)에서 b_3+b_5\ne2b_4이므로세 수 b_3, b_4, b_5는 이 순서대로 등차수열을이루지 않는다. \cdots ㉠

등차수열 \{a_n\}의 공차를 d라 하자.

d\ge0이면 모든 자연수 n에 대하여 a_n>0이 되어b_n=a_n이므로 ㉠을 만족시키지 않는다.

그러므로 d<0이며 a_3>a_4>a_5이다.

(i) a_3>a_4>a_5>0일 때

b_3=a_3, b_4=a_4, b_5=a_5이므로㉠을 만족시키지 않는다.

(ii) a_3>a_4>0\ge a_5일 때

a_6=a_5+d<0이므로 b_6=-2a_6

(b_4+b_6)-2b_5=(a_4-2a_6)-2(-2a_5)

=(8+3d)-2(8+5d)+4(8+4d)=24+9d=3a_4>0

b_4+b_6\ne2b_5이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(iii) a_3>0\ge a_4>a_5일 때

a_3=8+2d>0에서 d>-4이고a_4=8+3d\le0에서 d\le-\dfrac{8}{3}이므로-4<d\le-\dfrac{8}{3}

a_6=a_5+d<0이므로 b_6=-2a_6

b_4=-2a_4, b_5=-2a_5, b_6=-2a_6이므로b_4+b_6=2b_5가 성립한다.

b_3+b_5=2b_4+6에서a_3+(-2a_5)=2\times(-2a_4)+6

(8+2d)-2\times(8+4d)=-4\times(8+3d)+6

-8-6d=-26-12d, d=-3

(iv) 0\ge a_3>a_4>a_5일 때

b_3=-2a_3, b_4=-2a_4, b_5=-2a_5이므로㉠을 만족시키지 않는다.

(i) (iv)에 의하여 등차수열 \{a_n\}의 공차가-3이므로 a_n=8-3(n-1)=-3n+11이고

$_n={

a_n (n)
-2a_n (n)

따라서 \displaystyle \sum_{k=1}^{10}b_k=\sum_{k=1}^{3}a_k-2\sum_{k=4}^{10}a_k

\displaystyle \hphantom{\text{따라서 }\sum_{k=1}^{10}b_k}=(8+5+2)-2\times\dfrac{7}{2}(a_4+a_{10})

\displaystyle \hphantom{\text{따라서 }\sum_{k=1}^{10}b_k}=15-7(-1-19)=155