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메타언어란 논의 대상으로 삼은 수학적 언어나 체계를 설명하기 위해 사용하는 언어이다.

아래 내용들을 이미 이해하고 사용할 수 있다고 가정한다.

1. 자연어 이해
지금부터 수학적 기호 외에 말로 표현하는 모든 내용을 자연어라고 하며, 이를 이해할 수 있다.

2. 기호의 이해
(1) 기호와 기호가 나타내는 대상을 구별할 수 있다.
(2) 기호가 나타내는 대상과 별개로. 기호 자체를 논의 대상으로 삼을 수 있다.
(3) 같은 기호의 반복을 알아볼 수 있다.
(4) 다른 기호를 구별할 수 있다.
(5) 기호에 의미가 지정되면, 그 지정에 따라 기호를 이해하고 사용할 수 있다.

3. 자연수와 유한성
(1) 1, 2, 3, \|dots과 같은 자연수와 그 순서를 이해한다.
(2) 대상의 개수가 유한하다는 것과, 과정이 유한 번 이루어진다는 것을 이해한다.
(3) 유한한 대상들을 순서대로 나열하고, 각 위치의 대상을 구별할 수 있다.
(4) 주어진 과정을 유한 번 반복할 수 있다.

4. 자연수에 대한 귀납 원리
자연수 n에 관한 조건 P(n)에 대해 다음 두 가지를 얻었다면, 모든 자연수 n에 대해 P(n)이 성립한다고 결론 내릴 수 있다.
- P(1)이 성립한다.
- 임의의 자연수 n에 대해, P(n)이 성립한다고 가정하면, P(n+1)이 성립한다.

5. 집합
(1) 대상들의 모임을 집합으로 다룰 수 있다.
(2) 어떤 대상이 어떤 집합에 속한다는 말의 의미를 이해한다.
(3) 논의할 대상들을 특정 집합에 속하는 대상들로 한정한다는 것을 이해한다.

6. 함수
(1) 입력으로 허용되는 대상들이 정해져 있고, 각 입력에 출력이 정확히 하나씩 대응되는 것을 함수라고 이해한다.
(2) 같은 함수에 같은 입력을 주면 같은 출력이 대응된다는 것을 이해한다.
(3) 함수 f에 입력 a를 주었을 때, 대응되는 출력을 f(a)로 나타낼 수 있다.

7. 기본적인 논리적 추론
아래에서 A, B, C는 문장을 나타내며, P(a)는 대상 a에 관한 문장을 나타낸다. 이 표기들은 설명을 위한 기호이다.

(1) ’그리고’의 도입
A와 B를 각각 얻었다면, A\wedge B를 얻을 수 있다.

(2) ’그리고’의 제거
A\wedge B를 얻었다면, A와 B를 각각 얻을 수 있다.

(3) ’이면’의 제거
A\tightarrow B와 A를 얻었다면, B를 얻을 수 있다.

(4) ’모든’의 제거
\forall x\,P(x)를 얻었다면, 해당 논의영역의 특정 대상 a에 대해 P(a)를 얻을 수 있다.

(5) 동일성
대상 a에 대해 a=a를 얻을 수 있다.

(6) 동일한 대상의 대체
a=b와 P(a)를 얻었다면, P(b)를 얻을 수 있다.
a=b와 P(b)를 얻었다면, P(b)를 얻을 수 있다.
여기서 대체하는 것은 문장이 가리키는 대상이며, 그 대상을 나타내는 기호 자체에 관한 주장까지 같은 것으로 취급한다는 뜻은 아니다.

(7) 부정과 모순
’A가 아니다.’라는 부정의 의미를 이해하며, 이를 \neg A로 나타낸다.
어떤 문장 B와 \neg B를 함꼐 얻은 경우를 모순을 얻을 경우라고 한다.

(8) 부정의 도입
A를 임시로 가정하여 어떤 문장 B와 \neg B를 모두 얻었다면, 그 임시 가정을 해제하고 \neg A를 얻을 수 있다.
이떄 사용한 다른 가정에 대한 의존은 그대로 남는다.

8. 규칙의 적용과 추론의 관리
(1) 규칙에서 임의의 대상이나 문장을 나타내는 자리에, 그 규칙이 허용하는 대상이나 문장을 넣을 수 있다.
(2) 하나의 규칙을 한 번 적용할 때, 같은 대상을 나타내도록 사용된 자리는 모두 같은 대상으로 바꾼다.
(3) 대상을 대신 넣을 때에서는 ’모든 x’와 같이 변수가 적용되는 범위를 구별하여, 원래 뜻이 바뀌지 않도록 한다.
(4) 규칙이 요구하는 전제들을 각각 얻었다면, 그 규칙에 따라 결론을 얻을 수 있다.
(5) 얻은 결론을 다른 규칙이나 같은 규칙의 전제로 다시 사용할 수 있다.
(6) 사용할 수 있는 사실이나 가정을 여러 번 사용할 수 있으며, 모든 사실이나 가정을 반드시 사용할 필요는 없다.
(7) 임시 가정 아래에서 얻은 결론과, 그 임시 가정에 의존하지 않는 결론을 구별할 수 있다.
(8) 임시 가정을 해체한 뒤에는, 그 가정에 의존하는 결론을 가정 없이 얻은 사실로 사용할 수 없다.
(9) 이러한 규칙의 적용을 유한 번 이어갈 수 있다.

9. 귀납적 생성 원리
(1) 최초의 대상들과 생성 규칙들이 주어졌을 때, 최초의 대상들을 포함하고 그 규칙들을 유한 번 적용하여 얻을 수 있는 대상들 전체를 하나의 종류로 정할 수 있다.
(2) 생성 규칙으로 얻을 대상을 다시 생성 규칙의 입력으로 사용할 수 있다.
(3) 최초의 대상에 해당하지 않고, 생성 규칙을 유한 번 적용해서도 얻을 수 없는 대상은 그 종류에 포함되지 않는다.