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교육청 해설: [출제의도] 정적분 이해하기

함수 y=-f(x)의 그래프에 접하는 직선 중 기울기가 1인 직선의 y절편을 t_1이라 하자.

-p<t<0 또는 t\ge t_1일 때[그림 1], [그림 2]와 같이 \alpha(t)\le x\le\beta(t)인 모든 실수 x에 대하여 |f(x)|\le x+t이므로 g(t)=\displaystyle\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}\{|f(x)|-(x+t)\}\,dx\le0

그러므로 함수 g(t)는 0\le t<t_1에서 최댓값 \dfrac{1}{2}을 갖는다.

t=0일 때의 함수 y=|f(x)|의 그래프와 직선 y=x+t의 개형은 [그림 3]과 같고, 함수 y=|f(x)|의 그래프와 직선 y=x로 둘러싸인 2개 영역의 넓이를 각각 S_1, S_2라 하면 g(0)=S_1-S_2

0<t<t_1일 때의 함수 y=|f(x)|의 그래프와 직선 y=x+t의 개형은 [그림 4]와 같고,함수 y=|f(x)|의 그래프와 직선 y=x+t로 둘러싸인 3개 영역의 넓이를 각각 A, B, C라 하면 g(t)=-A+B-C

0<t<t_1인 모든 실수 t에 대하여B<S_1, C>S_2이므로-A+B-C<B-C<S_1-S_2

그러므로 0\le t<t_1인 모든 실수 t에 대하여 g(t)\le g(0)이며 g(0)=\dfrac{1}{2}

방정식 |f(x)|=x의 해가 0, p-1, p+1이므로 \alpha(0)=0, \beta(0)=p+1

g(0)=\displaystyle\int_{\alpha(0)}^{\beta(0)}(|f(x)|-x)\,dx=\int_0^{p+1}|f(x)|\,dx-\int_0^{p+1}x\,dx

=\displaystyle\int_0^p(-f(x))\,dx+\int_p^{p+1}f(x)\,dx-\int_0^{p+1}x\,dx

=\displaystyle\int_0^p(-x^2+px)\,dx+\int_p^{p+1}(x^2-px)\,dx-\dfrac{(p+1)^2}{2}

=\dfrac{p^3-3p^2-3p-1}{6}=\dfrac{1}{2}

p^3-3p^2-3p-4=(p-4)(p^2+p+1)=0

따라서 p=4