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교육청 해설: [출제의도] 확률의 뜻을 이용하여 추론하기

X에서 X로의 모든 일대일대응 f의 개수는 5!=120

조건 (가)에 의하여 f(3)\ne1, f(4)\ne1

또한 f(5)=1이면 2\le f(1)\le5에서1\le f(1)-f(5)\le4가 되어 조건 (나)를 만족시키지않는다.

그러므로 가능한 f^{-1}(1)의 값은 1, 2이다.

(i) f^{-1}(1)=1인 경우

f(1)=1이므로 f(3), f(5)의 값에 관계없이f(1)<f(3)과 |f(1)-f(5)|\ge1을 만족시킨다.

f(2)<f(4)를 만족시키는 일대일대응 f의 개수는f(3), f(5)의 값을 정하는 경우의 수와 같으므로 {}_4P_2=12

(ii) f^{-1}(1)=2인 경우

f(2)=1이므로 f(4)의 값에 관계없이 f(2)<f(4)를 만족시킨다.

(a) f(3)<f(5)인 경우

f(1)<f(3)<f(5)이므로 f(5)의 값에 관계없이 |f(1)-f(5)|\ge2를 만족시킨다.

f(1)<f(3)<f(5)를 만족시키는 일대일대응f의 개수는 f(4)의 값을 정하는 경우의 수와 같으므로 {}_4C_1=4

(b) f(5)<f(3)인 경우

|f(1)-f(5)|\ge2인 경우는f(1)=2, f(4)=3, f(5)=4, f(3)=5 또는f(5)=2, f(4)=3, f(1)=4, f(3)=5뿐이므로 일대일대응 f의 개수는 2

그러므로 구하는 경우의 수는 4+2=6

(i), (ii)에 의하여 구하는 확률은 \dfrac{12+6}{120}=\dfrac{3}{20}