input-pandoc-src

해설: [출제의도] 등비급수를 이용하여 추론하기

조건 (가)에 의하여 모든 자연수 n에 대하여

\displaystyle b_n=a_n 또는 \displaystyle b_n=|a_n|

a_1=0이면 모든 자연수 n에 대하여 a_n=b_n=0

그러므로 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{2n+1}+b_{2n+1})=0이 되어 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

a_1>0이면 모든 자연수 n에 대하여 a_{2n-1}>0이므로 b_{2n-1}=a_{2n-1}

\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(a_{2n+1}+b_{2n+1})=\sum_{n=2}^{\infty}2a_{2n+1}=\frac{2a_5}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{6}a_1>0

이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

그러므로 a_1<0

모든 자연수 n에 대하여 a_{2n}>0이므로 b_{2n}=a_{2n}

모든 자연수 n에 대하여 a_{2n-1}<0이므로

\displaystyle a_{2n-1}+b_{2n-1}=2a_{2n-1} 또는 \displaystyle a_{2n-1}+b_{2n-1}=0에서

\displaystyle a_{2n-1}+b_{2n-1}\leq0

\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(a_{2n+1}+b_{2n+1})=0이므로

2 이상의 모든 자연수 n에 대하여

\displaystyle a_{2n+1}+b_{2n+1}=0, \displaystyle b_{2n+1}=-a_{2n+1}

조건 (나)에 의하여

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{2n+1}+b_{2n+1})=a_3+b_3+\sum_{n=2}^{\infty}(a_{2n+1}+b_{2n+1})=a_3+b_3\neq0

이므로 b_3=a_3

\displaystyle b_1-b_3=3a_3+5에서 \displaystyle b_1=4a_3+5=a_1+5

이때 b_1=a_1이면 b_1\neq a_1+5이므로 b_1=-a_1이고 \displaystyle a_1=-\frac{5}{2}

그러므로 두 수열 \{a_n\}, \{b_n\}은 모든 자연수 n에 대하여

\displaystyle a_n=\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}, \displaystyle b_n=|a_n|\quad (n\neq3), \displaystyle b_n=a_3\quad (n=3)

따라서

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n=\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|-|a_3|+a_3=\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|+2a_3=\frac{\frac{5}{2}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}